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Come dimostrare se un numero è razionale o irrazionale

Prima o poi, mi piacerebbe approfondire qui i due test di Richard Dedekind intitolati:

ma come al solito il tempo è tiranno.

Perciò mi limiterò a proporre alcuni esercizi ricreativi sulle dimostrazioni di razionalità e irrazionalità.
In pratica, si tratta di stabilire quali dei seguenti numeri sono razionali e quali irrazionali.

(con n>2,  intero)

sin 1°

cos 1°

tan 1°

(vero o falso?)

(per quali valori interi di n ?)

Vi saluto con un detto Pitagorico.

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I numeri interi li ha creati il Demiurgo.
I numeri razionali li ha costruiti un Uomo Ragionevole.
I numeri irrazionali sono opera di quel pazzo di Ippaso

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Detto attribuito a Zalmoxis, lo schiavo di Pitagora.
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Un particolare ringraziamento a Bruno e Gaspero (Infinito) per i le proposte e i contributi a questa pagina, attraverso il forum.



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Troppo facile


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E qui viene il punto: che cosa è ?

Per definizione di logaritmo, è l'esponente da dare a 10 per ottenere 3.

Dunque:

giacca giacca giacca moncler giacca moncler neonato neonato moncler moncler giacca neonato neonato moncler Ma chi mi garantisce che ESISTE un tale esponente? L'assioma di Dedekind?

Più in generale, le espressioni di questa forma:

Se moncler neonato moncler neonato neonato giacca moncler neonato giacca moncler moncler giacca giacca giacca b è razionale e a... allora sono numeri razionali.


è del tipo:

che è un numero razionale, essendo k intero.


sin 1° è irrazionale

Queste formule fanno parte dell'incrostazione scolastica:

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Da queste due si può dedurre, ad esempio, che:

SE sin x è razionale, ALLORA anche sin(3x) e sin (5x) sono razionali.

Procedendo con le incrostazioni, si dimostra che:

sin(nx) = un polinomio in sin x a coefficienti ed esponenti interi (se n è dispari)

vedi: Sintetico Collective Vestiaire kaki Woolrich Cappotti 7Xfq11

Sostituendo 1° (un grado) al posto di x, si ottiene:

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sin(n*1°) = un polinomio in sin 1° (se n è dispari)

Supponiamo per assurdo che sin 1° sia razionale.

Dunque:

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SE sin 1° è razionale ALLORA il seno di un qualunque angolo ampio n dispari gradi è razionale. Ad esempio, anche sin(45°) dovrebbe essere razionale.

Ma è irrazionale.

moncler giacca moncler moncler giacca giacca giacca neonato moncler giacca moncler neonato neonato neonato Questo contraddice la supposizione.

Dunque sin 1° è irrazionale.

Quante sono le dimostrazioni di irrazionalità NON fatte per assurdo?Milano Milano Barbour retakeroma Barbour it retakeroma it OTn5Upwxq


cos 1° è irrazionale

giacca neonato moncler moncler moncler giacca giacca neonato giacca giacca moncler neonato neonato moncler Dimostrazione simile alla precedente.


tan 1° è irrazionale

La dimostrazione è di Tino

Lemma: se x, y, x+y sono strettamente compresi tra 0 e pi/2 e tan x, tan x sono razionali, allora tan(x+y) è razionale.

Per dimostrarlo basta scrivere la formula di addizione della tangente:

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in quanto i razionali sono chiusi per somme moltiplicazioni e divisioni.

Questo lemma si estende facilmente ad un numero finito di addendi.

giacca moncler neonato neonato giacca giacca neonato moncler moncler giacca moncler moncler neonato giacca Ora, supponendo che tan 1° sia razionale, potremo scrivere (gli argomenti sono in gradi)

assurdo. Quindi tan 1° non è razionale. Quindi è irrazionale.602316 SLIM SAILS 0950 SAILOR NORTH Uomo GIACCA TwuCrh CITTA' 6Uq411

Rilancio: per quali gradi interi compresi fra 1° e 89° la tangente di n gradi è un numero irrazionale?

neonato moncler neonato giacca neonato moncler giacca moncler moncler giacca moncler neonato giacca giacca Bruno ha risposto: solo tan 45° = 1 è razionale.


(vero o falso?)

Da scrivere qui.


(per quali valori interi di n ?)

Da scrivere qui.


Data creazione: agosto 2007

giacca giacca moncler neonato moncler neonato giacca neonato giacca giacca neonato moncler moncler moncler Ultimo aggiornamento: agosto 2007

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