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Come dimostrare se un numero è razionale o irrazionale

Prima o poi, mi piacerebbe approfondire qui i due test di Richard Dedekind intitolati:

ma come al solito il tempo è tiranno.

Perciò mi limiterò a proporre alcuni esercizi ricreativi sulle dimostrazioni di razionalità e irrazionalità.
In pratica, si tratta di stabilire quali dei seguenti numeri sono razionali e quali irrazionali.

(con n>2,  intero)

sin 1°

cos 1°

tan 1°

(vero o falso?)

(per quali valori interi di n ?)

Vi saluto con un detto Pitagorico.

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I numeri interi li ha creati il Demiurgo.
I numeri razionali li ha costruiti un Uomo Ragionevole.
I numeri irrazionali sono opera di quel pazzo di Ippaso

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Detto attribuito a Zalmoxis, lo schiavo di Pitagora.
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Un particolare ringraziamento a Bruno e Gaspero (Infinito) per i le proposte e i contributi a questa pagina, attraverso il forum.



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E qui viene il punto: che cosa è ?

Per definizione di logaritmo, è l'esponente da dare a 10 per ottenere 3.

Dunque:

Giacche Fruugo Uomo Uomo Giacche Fruugo Uomo Ma chi mi garantisce che ESISTE un tale esponente? L'assioma di Dedekind?

Più in generale, le espressioni di questa forma:

Se Fruugo Giacche Uomo Uomo Uomo Giacche Fruugo b è razionale e a... allora sono numeri razionali.


è del tipo:

che è un numero razionale, essendo k intero.


sin 1° è irrazionale

Queste formule fanno parte dell'incrostazione scolastica:

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Da queste due si può dedurre, ad esempio, che:

SE sin x è razionale, ALLORA anche sin(3x) e sin (5x) sono razionali.

Procedendo con le incrostazioni, si dimostra che:

sin(nx) = un polinomio in sin x a coefficienti ed esponenti interi (se n è dispari)

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Sostituendo 1° (un grado) al posto di x, si ottiene:

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sin(n*1°) = un polinomio in sin 1° (se n è dispari)

Supponiamo per assurdo che sin 1° sia razionale.

Dunque:

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SE sin 1° è razionale ALLORA il seno di un qualunque angolo ampio n dispari gradi è razionale. Ad esempio, anche sin(45°) dovrebbe essere razionale.

Ma è irrazionale.

Fruugo Uomo Uomo Giacche Fruugo Giacche Uomo Questo contraddice la supposizione.

Dunque sin 1° è irrazionale.

Quante sono le dimostrazioni di irrazionalità NON fatte per assurdo?Outlet Giacche Ski Bianco Giacche Down Hooded Nero Moncler Uomo nxBfq8Ovaw


cos 1° è irrazionale

Giacche Uomo Uomo Fruugo Fruugo Giacche Uomo Dimostrazione simile alla precedente.


tan 1° è irrazionale

La dimostrazione è di Tino

Lemma: se x, y, x+y sono strettamente compresi tra 0 e pi/2 e tan x, tan x sono razionali, allora tan(x+y) è razionale.

Per dimostrarlo basta scrivere la formula di addizione della tangente:

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in quanto i razionali sono chiusi per somme moltiplicazioni e divisioni.

Questo lemma si estende facilmente ad un numero finito di addendi.

Giacche Fruugo Uomo Uomo Fruugo Uomo Giacche Ora, supponendo che tan 1° sia razionale, potremo scrivere (gli argomenti sono in gradi)

assurdo. Quindi tan 1° non è razionale. Quindi è irrazionale.Navy Giacche Uomo Arctic 2016 Blu Woolrich Invernali Jacket 0qwxpP

Rilancio: per quali gradi interi compresi fra 1° e 89° la tangente di n gradi è un numero irrazionale?

Uomo Giacche Uomo Uomo Fruugo Giacche Fruugo Bruno ha risposto: solo tan 45° = 1 è razionale.


(vero o falso?)

Da scrivere qui.


(per quali valori interi di n ?)

Da scrivere qui.


Data creazione: agosto 2007

Uomo Fruugo Uomo Uomo Giacche Fruugo Giacche Ultimo aggiornamento: agosto 2007

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